Mini-Projekte · Trennung der Variablen
7 lebensnahe Aufgaben – je 3er-Teams: Rechner · Visualisierer · Erklärer
Projekt 1 – Radioaktiver Zerfall
Exponentielles Abklingen & Halbwertszeit sichtbar machen.
Projekt 2 – Abkühlung von Kaffee
Newtonsches Abkühlungsgesetz mit Raumtemperatur.
Projekt 3 – Bevölkerungswachstum
Exponentielles Wachstum einer Kultur.
Projekt 4 – Logistisches Wachstum
Ressourcenlimit führt zur S-Kurve.
Projekt 5 – Kondensator laden
RC-Zeitkonstante und e-Funktion.
Projekt 6 – Fall mit Luftwiderstand
Annäherung an die Endgeschwindigkeit.
Projekt 7 – Reaktion 1. Ordnung
Zerfall einer Konzentration.
Radioaktiver Zerfall
🎯 Ziel
Darstellen, wie die Menge mit der Zeit abnimmt und was „Halbwertszeit“ bedeutet.
🧾 Auftrag
- Gegeben: y' = −k·y, y(0)=100.
- Trennt die Variablen und löst die Gleichung.
- Setzt k = 0,1 und zeichnet den Verlauf.
- Bestimmt die Zeit, bis 50 g übrig sind (Halbwertszeit).
📚 Lernziele
- Exponentielles Abklingen beschreiben.
- Halbwertszeit anwenden.
💭 Reflexion
- Warum verschwindet die Substanz nie ganz?
- Wo ist das relevant (Medizin, Umwelt, Kerntechnik)?
🎨 Präsentation
Diagramm (GeoGebra / Excel / Hand) + 2 Sätze Erklärung.
🚀 Zusatz
Vergleicht Halbwertszeiten bei verschiedenen k-Werten.
Abkühlung von Kaffee
🎯 Ziel
Darstellen, wie der Kaffee mit der Zeit abkühlt und sich der Raumtemperatur annähert.
🧾 Auftrag
- Gegeben: y' = −k(y−20), y(0)=90.
- Setzt k = 0,2 und löst die Differentialgleichung.
- Zeichnet den Verlauf der Temperatur über der Zeit.
- Bestimmt die Zeit, bis der Kaffee ca. 40 °C erreicht.
📚 Lernziele
- Das Newtonsche Abkühlungsgesetz verstehen.
- Temperaturdifferenz als Antrieb der Abkühlung erkennen.
- Die e-Funktion im thermischen Kontext deuten.
💭 Reflexion
- Warum kühlt der Kaffee zu Beginn schneller ab?
- Wie verändern Material und Gefäß den k-Wert?
- Was passiert, wenn die Raumtemperatur steigt?
🎨 Präsentation
Diagramm (GeoGebra / Excel / Hand) + kurze Erklärung (1–2 Sätze).
🚀 Zusatz
Vergleicht den Abkühlverlauf von zwei Gefäßen mit unterschiedlichen k-Werten.
Bevölkerungswachstum
🎯 Ziel
Exponentielles Wachstum einer Population darstellen und verstehen.
🧾 Auftrag
- Gegeben: y' = k·y, y(0)=1000.
- Setzt k = 0,3 und berechnet y(t) nach 10 Einheiten.
- Zeichnet den Verlauf und beschreibt das Verhalten.
📚 Lernziele
- Exponentielles Wachstum erkennen und mathematisch beschreiben.
- Parameter k als Wachstumsfaktor interpretieren.
💭 Reflexion
- Warum wächst die Bevölkerung nicht unendlich weiter?
- Wo findet man dieses Modell in Biologie und Ökonomie?
🎨 Präsentation
Darstellung mit Diagramm + Erklärung der Parameter.
🚀 Zusatz
Vergleicht verschiedene Wachstumsraten in einer Tabelle oder Grafik.
Logistisches Wachstum
🎯 Ziel
Ein Wachstumsmodell mit Ressourcenlimit darstellen und interpretieren.
🧾 Auftrag
- Gegeben: y' = k·y(1−y/100), y(0)=10, k=0,4.
- Simuliert den Verlauf bis t = 20 und beschreibt die S-Kurve.
- Was geschieht, wenn das Limit (100) verändert wird?
📚 Lernziele
- Verständnis von Sättigung und Ressourcengrenzen.
- Mathematische Modellierung realer Systeme anwenden.
💭 Reflexion
- Wo tritt logistisches Wachstum in Natur und Wirtschaft auf?
- Wie unterscheidet sich dieses Modell vom exponentiellen?
🎨 Präsentation
Diagramm + S-Kurven-Erklärung (1–2 Sätze).
🚀 Zusatz
Simulation von verschiedenen k-Werten oder Obergrenzen in einem Diagramm.
Kondensator laden
🎯 Ziel
Verstehen, wie ein Kondensator geladen wird und welche Rolle die Zeitkonstante spielt.
🧾 Auftrag
- Gegeben: y' = (U−y)/RC, U=5 V, R=1000 Ω, C=10 µF.
- Löst und zeichnet den Verlauf von y(t).
- Bestimmt die Zeit, bis 90 % der Spannung erreicht sind.
📚 Lernziele
- RC-Zeitkonstante verstehen und anwenden.
- Mathematische Modellierung physikalischer Prozesse.
💭 Reflexion
- Welche Rolle spielt die Kapazität bei der Ladezeit?
- Wie würde ein größerer Widerstand den Verlauf verändern?
🎨 Präsentation
Messdiagramm + Erklärung der RC-Zeitkonstante.
🚀 Zusatz
Vergleicht Laden und Entladen im selben Diagramm.
Fall mit Luftwiderstand
🎯 Ziel
Die Annäherung an die Endgeschwindigkeit modellieren und deuten.
🧾 Auftrag
- Gegeben: v' = g − k·v, v(0)=0, g=9,81, k=0,3.
- Löst und zeichnet den Geschwindigkeitsverlauf.
- Bestimmt die Endgeschwindigkeit und die Annäherung nach 5 s.
📚 Lernziele
- Bewegung mit Widerstand modellieren.
- Die physikalische Bedeutung von k und g verstehen.
💭 Reflexion
- Wie unterscheidet sich der Verlauf vom freien Fall?
- Was ist die Bedeutung der Endgeschwindigkeit?
🎨 Präsentation
Kurvendiagramm + Begriffsdefinition „Endgeschwindigkeit“.
🚀 Zusatz
Vergleich mit verschiedenen Formen des Widerstands (k variabel).
Reaktion 1. Ordnung
🎯 Ziel
Den zeitlichen Abbau einer chemischen Substanz mathematisch modellieren.
🧾 Auftrag
- Gegeben: y' = −k·y, y(0)=100, k=0,1.
- Löst die Gleichung und zeichnet den Konzentrationsverlauf y(t).
- Bestimmt die Zeit, bis 50 % der Ausgangsmenge reagiert sind.
📚 Lernziele
- Exponentielle Abnahme in chemischen Reaktionen verstehen.
- Die Bedeutung der Reaktionskonstante k erklären.
- Verbindung zwischen Mathematik und Chemie herstellen.
💭 Reflexion
- Warum ist der Verlauf einer chemischen Reaktion selten linear?
- Wie könnte Temperatur oder Katalysator k verändern?
- Wo findet man ähnliche Prozesse (z. B. Radioaktivität, Pharmakologie)?
🎨 Präsentation
Diagramm der Reaktionskurve + kurze Deutung der Halbwertszeit.
🚀 Zusatz
Vergleicht Stoffe mit unterschiedlichem k und stellt sie gemeinsam in einer Grafik dar.
