Einführungsbeispiel

Gegeben ist folgendes Beispiel

Im Beispiel sehen wir auf der linken Seite eine reale Spannungsquelle (U_q1 mit R₁), im mittleren Zweig einen ohmschen Widerstand und auf der rechten Seite eine reale Stromquelle (I_q2 mit R₂).

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Lösung

1. Umwandlung in Spannungsquellen: Da wie im Teil Theorie beschrieben, das Maschenstromverfahren ausschließlich Spannungsquellen verlangt, muss die Stromquelle zu einer Spannungsquelle gewandelt werden.
   Die Quellenspannung der realen Spannungsquelle kann aus der Stromquelle mit U_q2 = I_q2 \cdot R₂ = 1mA \cdot 2kOhm = 2V. Zu bedenken ist, dass der Innenwiderstand der realen Stromquelle den selben Wert annimmt wie die der Spannungsquelle. Der Unterschied liegt in der Position des Widerstandes. Somit ergibt sich folgende Schaltung:
   
   Reale Stromquelle mit realer Spannungsquelle ersetzt

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2. Maschen definieren: In diesem Beispiel können 2 Maschen eingezeichnet werden wie in der folgenden Abbildung ersichtlich
   
   Maschenströme inkl. Richtung eingezeichnet
   Theoretisch könnte noch ein dritter Maschenstrom eingezeichnet werden wie in dieser Abbildung gezeigt:
   
   Zuviele Maschenströme inkl. Richtung eingezeichnet

   Der dritte Maschenstrom wäre grundsätzlich korrekt, ist jedoch aufgrund der Gleichungen nicht notwendig. Sie wird und darf nicht mehr als Gleichung verwendet werden, da der Maschenstrom I_M3 entweder durch einen Zweig fließt, durch diesen I_M1 oder I_M2 fließt. I_M3würde sozusagen die anderen beiden Maschenströme überlagern. Dies würde später in der Rechnung ein falsches Ergebnis liefern, da die Zweigströme einzigartig sein müssen und an gewissen Stellen ausschließlich durch Zweige fließen müssen.

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3. Aufstellen der Maschengleichungen:

   Die Maschengleichungen lauten:

   I: \( R_1 I_{M1} + R_3 I_{M1} - R_3 I_{M2} - U_{q1}= 0 \)

   II: \( R_2 I_{M2} + U_{q2} + R_3 I_{M2} - R_3 I_{M1} = 0 \)

   Es ist erkennbar, dass obige 2 Gleichungen, 2 Unbekannte beinhalten. Somit handelt es sich um ein vollständig bestimmtes Gleichungssystem mit einer eindeutigen Lösung.

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4. Gleichungen nach Maschenströmen auflösen:

   Es wird die erste Gleichung nach dem Strom \(I_{M2}\) umgeformt

   I: \( I_{M2} = \frac{R_1 I_{M1} + R_3 I_{M1}}{R_3} - \frac{U_{q1}}{R_3} \)

   in die zweite Maschengleichung eingesetzt ergibt sich:

   \( R_2\frac{R_1 I_{M1} + R_3 I_{M1}}{R_3} - R_2 \frac{U_{q1}}{R_3} + U_{q2} + R_1 I_{M1} + R_3 I_{M1} - U_{q1} - R_3 I_{M1} = 0\)

   auf \(I_{M1} \) umgeformt ergibt:

   \( R_2\frac{R_1 I_{M1} + R_3 I_{M1}}{R_3} + R_1 I_{M1} = R_2 \frac{U_{q1}}{R_3} - U_{q2} + U_{q1}\)

   \( I_{M1} = \frac{R_2 \frac{U_{q1}}{R_3} - U_{q2} + U_{q1}}{ \frac{R_2 R_1}{R_3} + R_2 + R_1 } \)

   Der Doppelbruch stört im Ergebnis, darum wird mit \(R_3\) ober- und unterhalb des Bruchstriches multipliziert.

   \( I_{M1} = \frac{U_{q1} R_2 - U_{q2} R_3 + U_{q1} R_3}{R_2 R_1 + R_2 R_3 + R_1 R_3} \)

   mit eingesetzten Werten ergibt sich:

   \( I_{M1} = \frac{10V \cdot 2000\Omega - 20V \cdot 3000\Omega + 10V \cdot 3000\Omega}{2000\Omega \cdot 1000\Omega+ 2000\Omega \cdot 3000\Omega + 1000\Omega \cdot 3000\Omega} = -0,909mA \)

   nun kann der zweite Maschenstrom berechnet werden

   \( I_{M2} = \frac{1000\Omega \cdot (-0,909mA) + 3000\Omega \cdot (-0,909mA)}{3000\Omega} - \frac{10V}{3000\Omega} = -4,545mA \)

   die negativen Ergebnisse bei den Maschenströmen zeigt uns, dass sie in die falsche Richtung angenommen wurden. Sie fließen also nicht im Uhrzeigersinn, sondern dagegen.

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5. Gesuchte Größen berechnen:

   Vorweg müssen die Ströme und Spannungen bei den einzelnen Widerständen eingezeichnet werden. Es bietet sich an, Strom und Spannung bei den Widerständen in die gleiche Richtung zeigen zu lassen (Verbraucherzählpfeilsystem) und bei den Quellen in unterschiedliche Richtugnen zeigen zu lassen (Erzeugerzählpfeilsystem)

   
   Netzwerk mit eingezeichneten Ströme und Spannungen

   Es ist erkennbar, dass im linken Zweig beim eingezeichneten Strom I₁ ausschließlich der Maschenstrom I_M1 fließt. Somit kann I₁ berechnet werden mit:

   \( I_{1} = I_{M1} = -0,909mA \)

   ähnliches gilt für den rechten Zweig mit dem Unterschied, dass der Strom I₂ in die entgegengesetzte Richtung wie der Maschenstrom I_M2 eingezeichnet ist. Somit gilt

   \( I_{2} = -I_{M2} = 4,545mA \)

   Beim mittleren Zweig (Strom I₃) ist erkennbar, dass er sowohl vom Maschenstrom I_M1 als auch von I_M2 durchflossen wird. Da I₃ nach unten zeigend angenommen wurde und I_M1 ebenfalls nach unten zeigt ist dieser Wert positiv einzusetzen. I_M2 fließt im mittleren Zweig nach oben und wird daher negativ in der folgenden Rechnung verwendet:

   \( I_{3} = I_{M1} - I_{M2} = -0,909mA - (-4,545mA) = 3,636mA \)

   Die Spannungen an den Widerständen können nun mit dem Ohm'schen Gesetz berechnet werden.

   \( U_{1} = I_{1} R_1 = -0,909mA \cdot 1000\Omega = -0,909V\)

   \( U_{2} = I_{2} R_2 = 4,545mA \cdot 2000\Omega = 9,091V\)

   \( U_{3} = I_{3} R_3 = 3,636mA \cdot 3000\Omega = 10,91V\)

   Nochmals der Hinweis bzgl. des Vorzeichens bei U₁. Entweder es wird im Netzwerk die Richtung des Stromes I₁ geändert und erhält ein positives Ergebnis, oder man behält die Richtung des Stromes und der Spannung bei und belässt das negative Vorzeichen im Ergebnis.

1. Übungsbeispiel

Gegeben ist folgendes Beispiel

Das gegebene elektrische Netzwerk besteht aus drei Spannungsquellen die über drei Widerstände miteinander verbunden sind. Versuche das Beispiel selbstständig zu lösen und klappe erst nachher die Lösung auf.

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2. Übungsbeispiel

Gegeben ist folgendes Beispiel

Das elektrische Netzwerk besteht aus 2 Stromquellen, die mit mehreren Widerständen zusammengeschalten sind. Versuche das Beispiel selbstständig zu lösen und klappe erst nachher die Lösung auf.

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Lösung

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