MTSA Amplitudengang

Amplitudengang passiver Filter

Der Amplitudengang beschreibt, wie stark ein Filter ein Signal bei einer bestimmten Frequenz durchlässt oder dämpft. Hier leiten wir die Amplitudenfunktion für die vier klassischen Filterschaltungen erster Ordnung Schritt für Schritt her.

1. RC-Tiefpass (Kapazitiver Tiefpass)
RC Tiefpass Schaltung
Schaltungsbeschreibung

Beim RC-Tiefpass liegt der Widerstand \( R \) in Serie und der Kondensator \( C \) parallel zum Ausgang. Hohe Frequenzen werden durch den Kondensator kurzgeschlossen, tiefe Frequenzen passieren nahezu ungedämpft.

Herleitung der Übertragungsfunktion

Die Impedanz des Kondensators lautet:

\[ \underline{Z}_C = \frac{1}{j\omega C} \]

Die Übertragungsfunktion ergibt sich als Spannungsteiler:

\[ \underline{F}(j\omega) = \frac{\underline{Z}_C}{R + \underline{Z}_C} = \frac{\dfrac{1}{j\omega C}}{R + \dfrac{1}{j\omega C}} \]

Zähler und Nenner mit \( j\omega C \) erweitern:

\[ \underline{F}(j\omega) = \frac{1}{1 + j\omega RC} \]
Trennung in Real- und Imaginärteil

Zähler:

\[ \text{Re}(\underline{Z}) = 1, \quad \text{Im}(\underline{Z}) = 0 \]

Nenner:

\[ \text{Re}(\underline{N}) = 1, \quad \text{Im}(\underline{N}) = \omega RC \]
Amplitudengang

Der Betrag der Übertragungsfunktion:

\[ |\underline{F}(j\omega)| = \frac{|\underline{Z}|}{|\underline{N}|} = \frac{\sqrt{1^2 + 0^2}}{\sqrt{1^2 + (\omega RC)^2}} \]
Ergebnis: Amplitudengang RC-Tiefpass
\[ \boxed{|\underline{F}(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}} \]
Hinweis: Bei der Grenzfrequenz \( \omega_g = \frac{1}{RC} \) beträgt der Amplitudengang \( |\underline{F}(j\omega_g)| = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707 \), was einer Dämpfung von \(-3\,\text{dB}\) entspricht.
2. CR-Hochpass (Kapazitiver Hochpass)
CR Hochpass Schaltung
Schaltungsbeschreibung

Beim CR-Hochpass liegt der Kondensator \( C \) in Serie und der Widerstand \( R \) parallel zum Ausgang. Tiefe Frequenzen werden durch den Kondensator blockiert, hohe Frequenzen passieren nahezu ungedämpft.

Herleitung der Übertragungsfunktion

Die Impedanz des Kondensators lautet:

\[ \underline{Z}_C = \frac{1}{j\omega C} \]

Die Übertragungsfunktion ergibt sich als Spannungsteiler:

\[ \underline{F}(j\omega) = \frac{R}{R + \underline{Z}_C} = \frac{R}{R + \dfrac{1}{j\omega C}} \]

Zähler und Nenner mit \( j\omega C \) erweitern:

\[ \underline{F}(j\omega) = \frac{j\omega RC}{1 + j\omega RC} \]
Trennung in Real- und Imaginärteil

Zähler:

\[ \text{Re}(\underline{Z}) = 0, \quad \text{Im}(\underline{Z}) = \omega RC \]

Nenner:

\[ \text{Re}(\underline{N}) = 1, \quad \text{Im}(\underline{N}) = \omega RC \]
Amplitudengang

Der Betrag der Übertragungsfunktion:

\[ |\underline{F}(j\omega)| = \frac{|\underline{Z}|}{|\underline{N}|} = \frac{\sqrt{0^2 + (\omega RC)^2}}{\sqrt{1^2 + (\omega RC)^2}} \]
Ergebnis: Amplitudengang CR-Hochpass
\[ \boxed{|\underline{F}(j\omega)| = \frac{\omega RC}{\sqrt{1 + (\omega RC)^2}}} \]
Hinweis: Bei der Grenzfrequenz \( \omega_g = \frac{1}{RC} \) beträgt der Amplitudengang \( |\underline{F}(j\omega_g)| = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707 \). Unterhalb dieser Frequenz fällt die Amplitude ab.
3. LR-Tiefpass (Induktiver Tiefpass)
LR Tiefpass Schaltung
Schaltungsbeschreibung

Beim LR-Tiefpass liegt die Spule \( L \) in Serie und der Widerstand \( R \) parallel zum Ausgang. Bei hohen Frequenzen steigt die Impedanz der Spule, wodurch das Signal gedämpft wird. Tiefe Frequenzen passieren nahezu ungedämpft.

Herleitung der Übertragungsfunktion

Die Impedanz der Spule lautet:

\[ \underline{Z}_L = j\omega L \]

Die Übertragungsfunktion ergibt sich als Spannungsteiler:

\[ \underline{F}(j\omega) = \frac{R}{R + \underline{Z}_L} = \frac{R}{R + j\omega L} \]

Durch \( R \) dividieren:

\[ \underline{F}(j\omega) = \frac{1}{1 + j\omega \cdot \dfrac{L}{R}} \]
Trennung in Real- und Imaginärteil

Zähler:

\[ \text{Re}(\underline{Z}) = 1, \quad \text{Im}(\underline{Z}) = 0 \]

Nenner:

\[ \text{Re}(\underline{N}) = 1, \quad \text{Im}(\underline{N}) = \omega \cdot \frac{L}{R} \]
Amplitudengang

Der Betrag der Übertragungsfunktion:

\[ |\underline{F}(j\omega)| = \frac{|\underline{Z}|}{|\underline{N}|} = \frac{\sqrt{1^2 + 0^2}}{\sqrt{1^2 + \left(\omega \cdot \dfrac{L}{R}\right)^2}} \]
Ergebnis: Amplitudengang LR-Tiefpass
\[ \boxed{|\underline{F}(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\omega \cdot \dfrac{L}{R}\right)^2}}} \]
Hinweis: Die Grenzfrequenz liegt bei \( \omega_g = \frac{R}{L} \). Die Struktur ist identisch zum RC-Tiefpass, nur die Zeitkonstante ändert sich von \( \tau = RC \) zu \( \tau = \frac{L}{R} \).
4. RL-Hochpass (Induktiver Hochpass)
RL Hochpass Schaltung
Schaltungsbeschreibung

Beim RL-Hochpass liegt der Widerstand \( R \) in Serie und die Spule \( L \) parallel zum Ausgang. Bei tiefen Frequenzen ist die Impedanz der Spule gering und schließt das Signal kurz. Bei hohen Frequenzen sperrt die Spule und das Signal gelangt zum Ausgang.

Herleitung der Übertragungsfunktion

Die Impedanz der Spule lautet:

\[ \underline{Z}_L = j\omega L \]

Die Übertragungsfunktion ergibt sich als Spannungsteiler:

\[ \underline{F}(j\omega) = \frac{\underline{Z}_L}{R + \underline{Z}_L} = \frac{j\omega L}{R + j\omega L} \]

Durch \( R \) dividieren:

\[ \underline{F}(j\omega) = \frac{j\omega \cdot \dfrac{L}{R}}{1 + j\omega \cdot \dfrac{L}{R}} \]
Trennung in Real- und Imaginärteil

Zähler:

\[ \text{Re}(\underline{Z}) = 0, \quad \text{Im}(\underline{Z}) = \omega \cdot \frac{L}{R} \]

Nenner:

\[ \text{Re}(\underline{N}) = 1, \quad \text{Im}(\underline{N}) = \omega \cdot \frac{L}{R} \]
Amplitudengang

Der Betrag der Übertragungsfunktion:

\[ |\underline{F}(j\omega)| = \frac{|\underline{Z}|}{|\underline{N}|} = \frac{\sqrt{0^2 + \left(\omega \cdot \dfrac{L}{R}\right)^2}}{\sqrt{1^2 + \left(\omega \cdot \dfrac{L}{R}\right)^2}} \]
Ergebnis: Amplitudengang RL-Hochpass
\[ \boxed{|\underline{F}(j\omega)| = \frac{\omega \cdot \dfrac{L}{R}}{\sqrt{1 + \left(\omega \cdot \dfrac{L}{R}\right)^2}}} \]
Hinweis: Die Grenzfrequenz liegt bei \( \omega_g = \frac{R}{L} \). Die Struktur ist identisch zum CR-Hochpass, nur die Zeitkonstante ändert sich von \( \tau = RC \) zu \( \tau = \frac{L}{R} \).