MTSA Bode-Diagramm

Bode-Diagramm zeichnen

Das Bode-Diagramm besteht aus zwei Teildiagrammen: dem Amplitudengang (Betrag in dB über der Frequenz) und dem Phasengang (Phasenverschiebung in Grad über der Frequenz). Beide Achsen werden logarithmisch aufgetragen. Hier lernst du Schritt für Schritt, wie du Bode-Diagramme für passive Filter erster Ordnung zeichnest.

Schritt 1: Den Amplitudengang zeichnen

Der Amplitudengang zeigt, wie stark ein Signal bei einer bestimmten Frequenz gedämpft oder durchgelassen wird. Fuer einen RC-Tiefpass lautet die Amplitudenfunktion:

\[ |\underline{F}(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1 + \omega^2 R^2 C^2}} \]

In der Nachrichtentechnik wird der Amplitudengang in Dezibel (dB) angegeben. Die Umrechnung lautet:

\[ |\underline{F}(j\omega)|_{\text{dB}} = 20 \cdot \log_{10}\!\bigl(|\underline{F}(j\omega)|\bigr) \]

Asymptotische Konstruktion

Das Bode-Diagramm lässt sich näherungsweise mit geraden Asymptoten konstruieren:

Fuer \( f \ll f_g \): Die Amplitude ist nahezu \( 0\,\text{dB} \) (horizontale Linie).
Fuer \( f \gg f_g \): Die Amplitude fällt mit \( -20\,\text{dB/Dekade} \) (beim Tiefpass).
Am Knickpunkt \( f = f_g \) treffen sich die beiden Asymptoten.

Vorgehensweise

Berechne mindestens 3 Werte, um den Verlauf sicher zeichnen zu können:

Einen Wert deutlich unter der Grenzfrequenz (z.B. \( f = f_g / 10 \))
Den Wert bei der Grenzfrequenz \( f = f_g \) (immer \( -3\,\text{dB} \))
Einen Wert deutlich über der Grenzfrequenz (z.B. \( f = 10 \cdot f_g \))

Je mehr Punkte du berechnest, desto genauer wird dein Diagramm. In den folgenden Abschnitten rechnen wir jeweils 6 Punkte durch.

Schritt 2: Den Phasengang zeichnen

Der Phasengang beschreibt die Phasenverschiebung zwischen Eingangs- und Ausgangssignal in Abhängigkeit von der Frequenz. Beim RC-Tiefpass lautet die Phasenformel:

\[ \varphi = -\arctan(\omega \cdot R \cdot C) = -\arctan(2\pi f \cdot R \cdot C) \]

Die Vorgehensweise ist dieselbe wie beim Amplitudengang: Berechne mehrere Frequenzpunkte und verbinde sie zu einer glatten Kurve.

Fuer \( f \ll f_g \): Die Phase ist nahezu \( 0° \).
Bei \( f = f_g \): Die Phase beträgt genau \( -45° \).
Fuer \( f \gg f_g \): Die Phase nähert sich \( -90° \).

RC-Tiefpass — Amplitudengang

Bauteilwerte: \( R = 1\,\text{k}\Omega \), \( C = 159\,\text{nF} \)

\[ f_g = \frac{1}{2\pi R C} = \frac{1}{2\pi \cdot 1000 \cdot 159 \cdot 10^{-9}} \approx 1\,\text{kHz} \]

Wertetabelle

f = 1 Hz:

\[ |\underline{F}| = \frac{1}{\sqrt{1 + (2\pi \cdot 1 \cdot 1000 \cdot 159 \cdot 10^{-9})^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (0{,}000999)^2}} \approx 1{,}000 \] \[ |\underline{F}|_{\text{dB}} = 20 \cdot \log_{10}(1{,}000) \approx 0\,\text{dB} \]

f = 100 Hz:

\[ |\underline{F}| = \frac{1}{\sqrt{1 + (2\pi \cdot 100 \cdot 1000 \cdot 159 \cdot 10^{-9})^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (0{,}09990)^2}} \approx 0{,}9950 \] \[ |\underline{F}|_{\text{dB}} = 20 \cdot \log_{10}(0{,}9950) \approx -0{,}043\,\text{dB} \]

f = 1 kHz (= f_g):

\[ |\underline{F}| = \frac{1}{\sqrt{1 + (2\pi \cdot 1000 \cdot 1000 \cdot 159 \cdot 10^{-9})^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}7071 \] \[ |\underline{F}|_{\text{dB}} = 20 \cdot \log_{10}(0{,}7071) \approx -3\,\text{dB} \]

f = 10 kHz:

\[ |\underline{F}| = \frac{1}{\sqrt{1 + (2\pi \cdot 10000 \cdot 1000 \cdot 159 \cdot 10^{-9})^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (6{,}283)^2}} \approx 0{,}1575 \] \[ |\underline{F}|_{\text{dB}} = 20 \cdot \log_{10}(0{,}1575) \approx -16{,}1\,\text{dB} \quad (\text{asymptotisch } -20\,\text{dB}) \]

f = 100 kHz:

\[ |\underline{F}| = \frac{1}{\sqrt{1 + (2\pi \cdot 100000 \cdot 1000 \cdot 159 \cdot 10^{-9})^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (62{,}83)^2}} \approx 0{,}01592 \] \[ |\underline{F}|_{\text{dB}} \approx -40\,\text{dB} \]

f = 1 MHz:

\[ |\underline{F}| = \frac{1}{\sqrt{1 + (2\pi \cdot 1000000 \cdot 1000 \cdot 159 \cdot 10^{-9})^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + (628{,}3)^2}} \approx 0{,}001592 \] \[ |\underline{F}|_{\text{dB}} \approx -60\,\text{dB} \]

Bode-Diagramm: Amplitudengang

Analyse

Die 0-dB-Linie ist die obere Begrenzung — hier wird das Signal nicht gedämpft.
Der Knickpunkt liegt bei \( f_g = 1\,\text{kHz} \). Dort beträgt die Dämpfung genau \( -3\,\text{dB} \).
Oberhalb von \( f_g \) fällt die Kurve mit einer Steigung von -20 dB/Dekade (das entspricht -6 dB/Oktave).
Die gestrichelte Linie zeigt die Asymptoten-Näherung. Die tatsächliche Kurve (durchgezogen) weicht am Knickpunkt am stärksten ab.

RC-Tiefpass — Phasengang

Bauteilwerte: \( R = 1\,\text{k}\Omega \), \( C = 159\,\text{nF} \), \( f_g \approx 1\,\text{kHz} \)

\[ \varphi = -\arctan(2\pi f \cdot R \cdot C) \]

Wertetabelle

f = 1 Hz:

\[ \varphi = -\arctan(2\pi \cdot 1 \cdot 1000 \cdot 159 \cdot 10^{-9}) = -\arctan(0{,}000999) \approx -0{,}057° \]

f = 100 Hz:

\[ \varphi = -\arctan(2\pi \cdot 100 \cdot 10^{-4}) = -\arctan(0{,}0999) \approx -5{,}7° \]

f = 1 kHz (= f_g):

\[ \varphi = -\arctan(2\pi \cdot 1000 \cdot 10^{-4}) = -\arctan(1) = -45° \]

f = 10 kHz:

\[ \varphi = -\arctan(2\pi \cdot 10000 \cdot 10^{-4}) = -\arctan(6{,}283) \approx -84{,}28° \]

f = 100 kHz:

\[ \varphi = -\arctan(2\pi \cdot 100000 \cdot 1000 \cdot 159 \cdot 10^{-9}) = -\arctan(62{,}83) \approx -89{,}43^\circ \]

f = 1 MHz:

\[ \varphi = -\arctan(2\pi \cdot 1000000 \cdot 1000 \cdot 159 \cdot 10^{-9}) = -\arctan(628{,}3) \approx -89{,}94^\circ \]

Bode-Diagramm: Phasengang

Analyse

Bei sehr tiefen Frequenzen ist die Phasenverschiebung praktisch \( 0° \) — Eingang und Ausgang sind in Phase.
Bei \( f_g \) beträgt die Phase genau \( -45° \).
Bei sehr hohen Frequenzen nähert sich die Phase \( -90° \) an.
Der staerkste Phasenwechsel findet rund um die Grenzfrequenz statt (etwa eine Dekade darunter bis eine Dekade darüber).

CR-Hochpass — Amplitudengang

Bauteilwerte: \( R = 1\,\text{k}\Omega \), \( C = 159\,\text{nF} \), \( f_g \approx 1\,\text{kHz} \)

Die Amplitudenfunktion des CR-Hochpasses lautet:

\[ |\underline{F}(j\omega)| = \frac{\omega R C}{\sqrt{1 + \omega^2 R^2 C^2}} \]

Wertetabelle

f = 1 Hz:

\[ |\underline{F}| = \frac{0{,}000999}{\sqrt{1 + (0{,}000999)^2}} \approx 0{,}000999 \quad \Rightarrow \quad |\underline{F}|_{\text{dB}} \approx -60\,\text{dB} \]

f = 100 Hz:

\[ |\underline{F}| = \frac{0{,}0999}{\sqrt{1 + (0{,}0999)^2}} \approx 0{,}0994 \quad \Rightarrow \quad |\underline{F}|_{\text{dB}} \approx -20\,\text{dB} \]

f = 1 kHz (= f_g):

\[ |\underline{F}| = \frac{1}{\sqrt{1 + 1}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}7071 \quad \Rightarrow \quad |\underline{F}|_{\text{dB}} \approx -3\,\text{dB} \]

f = 10 kHz:

\[ |\underline{F}| = \frac{6{,}283}{\sqrt{1 + (6{,}283)^2}} \approx 0{,}9875 \quad \Rightarrow \quad |\underline{F}|_{\text{dB}} \approx -0{,}043\,\text{dB} \]

f = 100 kHz:

\[ |\underline{F}| \approx 0{,}99998 \quad \Rightarrow \quad |\underline{F}|_{\text{dB}} \approx 0\,\text{dB} \]

Bode-Diagramm: Amplitudengang

Analyse

Unterhalb von \( f_g \) steigt die Kurve mit +20 dB/Dekade an.
Am Knickpunkt \( f_g = 1\,\text{kHz} \) beträgt die Dämpfung \( -3\,\text{dB} \).
Oberhalb von \( f_g \) bleibt die Amplitude bei etwa \( 0\,\text{dB} \) — das Signal wird durchgelassen.

CR-Hochpass — Phasengang

Bauteilwerte: \( R = 1\,\text{k}\Omega \), \( C = 159\,\text{nF} \), \( f_g \approx 1\,\text{kHz} \)

\[ \varphi = +\arctan\!\left(\frac{1}{\omega R C}\right) = +\arctan\!\left(\frac{1}{2\pi f \cdot R \cdot C}\right) \]

Wertetabelle

f = 1 Hz:

\[ \varphi = +\arctan\!\left(\frac{1}{0{,}000999}\right) = +\arctan(1000{,}9) \approx +89{,}94° \]

f = 100 Hz:

\[ \varphi = +\arctan\!\left(\frac{1}{0{,}0999}\right) = +\arctan(10{,}01) \approx +84{,}3° \]

f = 1 kHz (= f_g):

\[ \varphi = +\arctan(1) = +45° \]

f = 10 kHz:

\[ \varphi = +\arctan\!\left(\frac{1}{6{,}283}\right) = +\arctan(0{,}1592) \approx +5{,}72° \]

f = 100 kHz:

\[ \varphi = +\arctan(0{,}01592) \approx +0{,}57° \]

Bode-Diagramm: Phasengang

Analyse

Bei sehr tiefen Frequenzen eilt die Ausgangsspannung der Eingangsspannung um fast \( +90° \) voraus.
Bei \( f_g \) beträgt die Phasenverschiebung genau \( +45° \).
Bei hohen Frequenzen nähert sich die Phase \( 0° \) an — Eingang und Ausgang sind in Phase.

LR-Tiefpass — Amplitudengang

Bauteilwerte: \( L = 159\,\text{mH} \), \( R = 1\,\text{k}\Omega \)

\[ f_g = \frac{R}{2\pi L} = \frac{1000}{2\pi \cdot 0{,}159} \approx 1\,\text{kHz} \]

Die Amplitudenfunktion des LR-Tiefpasses lautet:

\[ |\underline{F}(j\omega)| = \frac{R}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}} = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{\omega L}{R}\right)^2}} \]

Wertetabelle

f = 1 Hz:

\[ \frac{\omega L}{R} = \frac{2\pi \cdot 1 \cdot 0{,}159}{1000} = 0{,}000999 \quad \Rightarrow \quad |\underline{F}|_{\text{dB}} \approx 0\,\text{dB} \]

f = 100 Hz:

\[ \frac{\omega L}{R} = 0{,}0999 \quad \Rightarrow \quad |\underline{F}|_{\text{dB}} \approx -0{,}043\,\text{dB} \]

f = 1 kHz (= f_g):

\[ \frac{\omega L}{R} = 1 \quad \Rightarrow \quad |\underline{F}| = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}7071 \quad \Rightarrow \quad |\underline{F}|_{\text{dB}} \approx -3\,\text{dB} \]

f = 10 kHz:

\[ \frac{\omega L}{R} = 9{,}99 \quad \Rightarrow \quad |\underline{F}|_{\text{dB}} \approx -20\,\text{dB} \]

f = 100 kHz:

\[ \frac{\omega L}{R} = 99{,}9 \quad \Rightarrow \quad |\underline{F}|_{\text{dB}} \approx -40\,\text{dB} \]

f = 1 MHz:

\[ \frac{\omega L}{R} = 999 \quad \Rightarrow \quad |\underline{F}|_{\text{dB}} \approx -60\,\text{dB} \]

Bode-Diagramm: Amplitudengang

Analyse

Der LR-Tiefpass verhält sich im Bode-Diagramm identisch zum RC-Tiefpass — gleiche Grenzfrequenz, gleiche -20 dB/Dekade Steigung.
Der Unterschied liegt in der Schaltung: Hier dämpft die Induktivität hohe Frequenzen, während der Widerstand die Ausgangsspannung bildet.
Grenzfrequenz: \( f_g = \frac{R}{2\pi L} \) (statt \( \frac{1}{2\pi RC} \)).

LR-Tiefpass — Phasengang

Bauteilwerte: \( L = 159\,\text{mH} \), \( R = 1\,\text{k}\Omega \), \( f_g \approx 1\,\text{kHz} \)

\[ \varphi = -\arctan\!\left(\frac{\omega L}{R}\right) = -\arctan\!\left(\frac{2\pi f \cdot L}{R}\right) \]

Wertetabelle

f = 1 Hz:

\[ \varphi = -\arctan(0{,}000999) \approx -0{,}057° \]

f = 100 Hz:

\[ \varphi = -\arctan(0{,}0999) \approx -5{,}7° \]

f = 1 kHz (= f_g):

\[ \varphi = -\arctan(1) = -45° \]

f = 10 kHz:

\[ \varphi = -\arctan(9{,}99) \approx -84{,}28° \]

f = 100 kHz:

\[ \varphi = -\arctan(99{,}9) \approx -89{,}43° \]

f = 1 MHz:

\[ \varphi = -\arctan(999) \approx -89{,}94° \]

Bode-Diagramm: Phasengang

Analyse

Der Phasenverlauf des LR-Tiefpasses ist identisch zum RC-Tiefpass: von \( 0° \) bei tiefen Frequenzen bis \( -90° \) bei hohen Frequenzen.
Bei \( f_g \) beträgt die Phase genau \( -45° \).

RL-Hochpass — Amplitudengang

Bauteilwerte: \( L = 159\,\text{mH} \), \( R = 1\,\text{k}\Omega \), \( f_g \approx 1\,\text{kHz} \)

Die Amplitudenfunktion des RL-Hochpasses lautet:

\[ |\underline{F}(j\omega)| = \frac{\omega L}{\sqrt{R^2 + \omega^2 L^2}} = \frac{\frac{\omega L}{R}}{\sqrt{1 + \left(\frac{\omega L}{R}\right)^2}} \]

Wertetabelle

f = 1 Hz:

\[ \frac{\omega L}{R} = 0{,}000999 \quad \Rightarrow \quad |\underline{F}|_{\text{dB}} \approx -60\,\text{dB} \]

f = 100 Hz:

\[ \frac{\omega L}{R} = 0{,}0999 \quad \Rightarrow \quad |\underline{F}|_{\text{dB}} \approx -20\,\text{dB} \]

f = 1 kHz (= f_g):

\[ \frac{\omega L}{R} = 1 \quad \Rightarrow \quad |\underline{F}| = \frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}7071 \quad \Rightarrow \quad |\underline{F}|_{\text{dB}} \approx -3\,\text{dB} \]

f = 10 kHz:

\[ \frac{\omega L}{R} = 9{,}99 \quad \Rightarrow \quad |\underline{F}|_{\text{dB}} \approx -0{,}043\,\text{dB} \]

f = 100 kHz:

\[ \frac{\omega L}{R} = 99{,}9 \quad \Rightarrow \quad |\underline{F}|_{\text{dB}} \approx 0\,\text{dB} \]

Bode-Diagramm: Amplitudengang

Analyse

Der RL-Hochpass verhält sich im Bode-Diagramm identisch zum CR-Hochpass.
Unterhalb von \( f_g \) steigt die Kurve mit +20 dB/Dekade.
Am Knickpunkt bei \( f_g \) liegt die Dämpfung bei \( -3\,\text{dB} \).
Grenzfrequenz: \( f_g = \frac{R}{2\pi L} \).

RL-Hochpass — Phasengang

Bauteilwerte: \( L = 159\,\text{mH} \), \( R = 1\,\text{k}\Omega \), \( f_g \approx 1\,\text{kHz} \)

\[ \varphi = +\arctan\!\left(\frac{R}{\omega L}\right) = +\arctan\!\left(\frac{R}{2\pi f \cdot L}\right) \]

Wertetabelle

f = 1 Hz:

\[ \varphi = +\arctan\!\left(\frac{1000}{2\pi \cdot 1 \cdot 0{,}159}\right) = +\arctan(1000{,}9) \approx +89{,}94° \]

f = 100 Hz:

\[ \varphi = +\arctan(10{,}01) \approx +84{,}3° \]

f = 1 kHz (= f_g):

\[ \varphi = +\arctan(1) = +45° \]

f = 10 kHz:

\[ \varphi = +\arctan(0{,}1001) \approx +5{,}72° \]

f = 100 kHz:

\[ \varphi = +\arctan(0{,}01001) \approx +0{,}57° \]

Bode-Diagramm: Phasengang

Analyse

Der Phasenverlauf des RL-Hochpasses ist identisch zum CR-Hochpass: von \( +90° \) bei tiefen Frequenzen bis \( 0° \) bei hohen Frequenzen.
Bei \( f_g \) beträgt die Phase genau \( +45° \).

Profi-Tipp

Die Asymptoten weichen am Knickpunkt (bei \( f_g \)) am stärksten von der tatsächlichen Kurve ab. Die reale Kurve liegt dort genau 3 dB unter dem Schnittpunkt der beiden Asymptoten. Bei allen anderen Frequenzen (mehr als eine Dekade entfernt von \( f_g \)) stimmen Asymptote und reale Kurve nahezu überein.