MTSA Grenzfrequenz

Grenzfrequenz von Filterschaltungen

Die Grenzfrequenz fg ist der zentrale Kennwert jedes Filters erster Ordnung. Sie trennt den Durchlass- vom Sperrbereich und markiert den -3 dB-Punkt.

Was ist die Grenzfrequenz?

Die Grenzfrequenz fg ist jene Frequenz, bei der die Ausgangsspannung auf ca. 70,7 % (genauer: \(\frac{1}{\sqrt{2}}\)) der Eingangsspannung absinkt. In der Nachrichtentechnik spricht man vom -3 dB-Punkt.

  • Bei fg fällt die Spannung auf \(\frac{1}{\sqrt{2}} \approx 0{,}707\) des Maximalwerts.
  • Das entspricht dem -3 dB-Punkt im Amplitudengang.
  • In Bezug auf die Leistung wird am Ausgang nur noch die Hälfte (\(\frac{1}{2}\)) abgegeben.
fg (-3 dB) Frequenz f
\[ |\underline{F}(j\omega)|_{\text{dB}} = 20 \cdot \log_{10}\!\left(\frac{\underline{U}_a}{\underline{U}_e}\right) = -3\,\text{dB} \]
RC-Tiefpass — Herleitung der Grenzfrequenz

Der Amplitudengang des RC-Tiefpasses lautet:

\[ |\underline{F}(j\omega)| = \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega R C)^2}} \]

An der Grenzfrequenz gilt per Definition \(|\underline{F}(j\omega_g)| = \frac{1}{\sqrt{2}}\). Wir setzen ein:

Schritt 1: Bedingung aufstellen \[ \frac{1}{\sqrt{1 + (\omega_g R C)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \] Schritt 2: Beide Seiten quadrieren \[ \frac{1}{1 + (\omega_g R C)^2} = \frac{1}{2} \] Schritt 3: Umstellen \[ 1 + (\omega_g R C)^2 = 2 \quad \Rightarrow \quad (\omega_g R C)^2 = 1 \] Schritt 4: Wurzel ziehen \[ \omega_g R C = 1 \quad \Rightarrow \quad \omega_g = \frac{1}{RC} \]
\[ f_g = \frac{1}{2\pi R C} \]
CR-Hochpass — Herleitung der Grenzfrequenz

Der Amplitudengang des CR-Hochpasses lautet:

\[ |\underline{F}(j\omega)| = \frac{\omega R C}{\sqrt{1 + (\omega R C)^2}} \]

An der Grenzfrequenz gilt wieder \(|\underline{F}(j\omega_g)| = \frac{1}{\sqrt{2}}\):

Schritt 1: Bedingung aufstellen \[ \frac{\omega_g R C}{\sqrt{1 + (\omega_g R C)^2}} = \frac{1}{\sqrt{2}} \] Schritt 2: Quadrieren \[ \frac{(\omega_g R C)^2}{1 + (\omega_g R C)^2} = \frac{1}{2} \] Schritt 3: Umstellen \[ 2(\omega_g R C)^2 = 1 + (\omega_g R C)^2 \quad \Rightarrow \quad (\omega_g R C)^2 = 1 \] Schritt 4: Wurzel ziehen \[ \omega_g = \frac{1}{RC} \]
\[ f_g = \frac{1}{2\pi R C} \]

Dieselbe Grenzfrequenz wie beim RC-Tiefpass — nur die Filterwirkung (Durchlass/Sperre) ist umgekehrt.

LR-Tiefpass — Grenzfrequenz

Der Amplitudengang des LR-Tiefpasses lautet:

\[ |\underline{F}(j\omega)| = \frac{R}{\sqrt{R^2 + (\omega L)^2}} \]

Die Herleitung erfolgt analog: \(|\underline{F}(j\omega_g)| = \frac{1}{\sqrt{2}}\) einsetzen, quadrieren und umstellen ergibt:

\[ \frac{R^2}{R^2 + (\omega_g L)^2} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad (\omega_g L)^2 = R^2 \quad \Rightarrow \quad \omega_g = \frac{R}{L} \]
\[ f_g = \frac{R}{2\pi L} \]
RL-Hochpass — Grenzfrequenz

Der Amplitudengang des RL-Hochpasses lautet:

\[ |\underline{F}(j\omega)| = \frac{\omega L}{\sqrt{R^2 + (\omega L)^2}} \]

Die Herleitung erfolgt analog zum CR-Hochpass:

\[ \frac{(\omega_g L)^2}{R^2 + (\omega_g L)^2} = \frac{1}{2} \quad \Rightarrow \quad (\omega_g L)^2 = R^2 \quad \Rightarrow \quad \omega_g = \frac{R}{L} \]
\[ f_g = \frac{R}{2\pi L} \]

Auch hier: dieselbe Grenzfrequenz wie beim LR-Tiefpass — nur die Filterwirkung ist umgekehrt.

Warum genau bei dieser Frequenz?

An der Grenzfrequenz sind die Betraege von Wirkwiderstand und Blindwiderstand gleich groß:

\[ R = |X_C| = \frac{1}{\omega_g C} \qquad \text{bzw.} \qquad R = |X_L| = \omega_g L \]

Genau dann bilden R und X einen gleichschenkligen Spannungsteiler. Die Ausgangsspannung beträgt \(\frac{1}{\sqrt{2}}\) der Eingangsspannung, was dem -3 dB-Punkt entspricht.

Merkregeln — Amplitudengang im Bode-Diagramm
Tiefpass
Frequenzbereich Verhalten
f < fg 0 dB (Durchlassbereich)
f = fg -3 dB (Grenzfrequenz)
f > fg -20 dB/Dekade (Sperrbereich)
Hochpass
Frequenzbereich Verhalten
f < fg +20 dB/Dekade (Sperrbereich)
f = fg -3 dB (Grenzfrequenz)
f > fg 0 dB (Durchlassbereich)

Diese Werte gelten für Filter erster Ordnung. Filter höherer Ordnung haben steilere Flanken (z. B. -40 dB/Dekade bei 2. Ordnung).