Mathematische Herleitung
Die Grundlage des Bode-Diagramms ist die Umrechnung linearer Spannungsverhältnisse in das logarithmische Mass Dezibel (dB). Dabei wird vor allem die folgende Formel eine wesentliche Rolle spielen.
Zum Beispiel entspricht das Spannungsverhältnis von Ausgangsspannung zu Eingangsspannung von 1:100 somit -40 dB.
Was ist ein Logarithmus?
Der Logarithmus einer Zahl Z ist jene Hochzahl, mit der man die Basis (bei uns 10) potenzieren muss, um Z zu erhalten.
Vom Logarithmus zum Diagramm
Damit wir ein Diagramm zeichnen können, müssen wir Logarithmen in Zentimeter umrechnen. Dafür nutzen wir eine Zeicheneinheit (ZE) von zum Beispiel 10 cm pro Dekade.
| Wert (Z) | Rechnung: log(Z) · 10cm | Abstand auf Papier |
|---|---|---|
| 1 | log(1) · 10 cm | ≈ 0 cm |
| 2 | log(2) · 10 cm | ≈ 3 cm |
| 3 | log(3) · 10 cm | ≈ 4,8 cm |
| 5 | log(5) · 10 cm | ≈ 7 cm |
| 8 | log(8) · 10 cm | ≈ 9 cm |
Versuche nun auf einen Zahlenstrahl die Punkte korrekt einzuzeichnen. Per Klick auf Lösung wird dir die Lösung angezeigt.
Lösung anzeigen
Die Punkte korrekt aufgetragen sehen wie folgt aus:
Das "Rätsel" der 20
Warum rechnen wir bei Spannungen mit 20·log und nicht einfach nur log?
In der Elektrotechnik basiert das Bel (B) eigentlich auf Leistungsverhältnissen \(P_2/P_1\). Da die Leistung quadratisch zur Spannung steigt \((P \sim U^2)\), wandert die "2" aus dem Exponenten als Faktor nach vorne: \(10\cdot\log(U^2) = 20\cdot\log(U)\).
Merkhilfe für Spannungen:
- • Verdopplung der Spannung ≈ +6 dB
- • Halbierung der Spannung ≈ -6 dB
- • Zehnfache Spannung = +20 dB
Strich unter Buchstaben
Was bedeutet der Strich unter gewissen Buchstaben?
Bei Größen, die sowohl einen Real- als auch Imaginärteil aufweisen, wird ein Strich unter den Formelbuchstaben gemacht um dies zu verdeutlichen.
j·ω
Was soll das j·ω in vielen Formeln bedeuten?
Die komplexe Wechselstromrechnung nutzt komplexe Zahlen um sinusförmige Wechselspannungen und -stroeme in der Elektrotechnik darzustellen. Dabei repräsentiert j (√(-1)) die imaginäre Einheit und j² = -1. Verdeutlicht wird dies noch besser in der komplexen Zahlenebene.
Auf der X-Achse befindet sich der Realteil und auf der Y-Achse der Imaginärteil. Als Formel angeschrieben wird wie erwähnt, der Imaginärteil mit einem j gekennzeichnet, somit könnte dieser Zeiger wie folgt berechnet werden:
Dies wird auch Komponentenform genannt. Eine alternative Möglichkeit, die Polarform wäre wie folgt: