MTSA Phasengang

Phasengang von Filterschaltungen

Der Phasengang beschreibt, wie sich der Winkel (die Phasenverschiebung) zwischen Eingangs- und Ausgangssignal in Abhängigkeit von der Frequenz verändert.

Was ist die Phase?

Die Phase \(\varphi\) gibt den Winkel bzw. die zeitliche Verschiebung zwischen dem Eingangssignal und dem Ausgangssignal einer Schaltung an. Sie wird aus der komplexen Übertragungsfunktion \(\underline{F}(j\omega)\) berechnet.

In der komplexen Zahlenebene lässt sich jeder Zeiger durch seinen Realteil (x-Achse) und Imaginärteil (y-Achse) darstellen. Der Winkel zur reellen Achse ist die Phase.

Komplexe Zahlenebene

Die allgemeine Formel für die Phase lautet:

\[ \varphi = \arctan\!\left(\frac{\text{Im}\{F\}}{\text{Re}\{F\}}\right) \]

Bei einem Bruch aus zwei komplexen Zahlen (Zähler und Nenner) kann die Phase auch als Differenz der Einzelwinkel berechnet werden:

\[ \varphi = \arctan\!\left(\frac{\text{Im}_Z}{\text{Re}_Z}\right) - \arctan\!\left(\frac{\text{Im}_N}{\text{Re}_N}\right) \]

Dabei steht Z für Zähler und N für Nenner der Übertragungsfunktion.

1. RC-Tiefpass

RC Tiefpass

Typ: Kapazitiver Tiefpass

Bauteile: Widerstand R in Serie, Kondensator C parallel

Übertragungsfunktion: \(\underline{F}(j\omega) = \dfrac{1}{1 + j\omega RC}\)

Herleitung der Phase

Wir starten mit der Übertragungsfunktion und identifizieren Zähler und Nenner:

\[ \underline{F}(j\omega) = \frac{1}{1 + j\omega RC} \]

Zähler:

\[ \underline{Z} = 1 \quad \Rightarrow \quad \text{Re}_Z = 1, \quad \text{Im}_Z = 0 \]

Nenner:

\[ \underline{N} = 1 + j\omega RC \quad \Rightarrow \quad \text{Re}_N = 1, \quad \text{Im}_N = \omega RC \]

Nun setzen wir in die Formel für die Phase ein:

\[ \varphi = \arctan\!\left(\frac{\text{Im}_Z}{\text{Re}_Z}\right) - \arctan\!\left(\frac{\text{Im}_N}{\text{Re}_N}\right) \]
\[ \varphi = \arctan\!\left(\frac{0}{1}\right) - \arctan\!\left(\frac{\omega RC}{1}\right) \]
\[ \varphi = 0° - \arctan(\omega RC) \]
Ergebnis: \[ \boxed{\varphi = -\arctan(\omega RC)} \]
Analyse:
  • Bei \(\omega \to 0\): \(\varphi = -\arctan(0) = 0°\) — Eingang und Ausgang sind in Phase.
  • Bei \(\omega = \omega_g = \frac{1}{RC}\): \(\varphi = -\arctan(1) = -45°\) — Grenzfrequenz.
  • Bei \(\omega \to \infty\): \(\varphi \to -90°\) — maximale Nacheilung des Ausgangssignals.

2. CR-Hochpass

CR Hochpass

Typ: Kapazitiver Hochpass

Bauteile: Kondensator C in Serie, Widerstand R parallel

Übertragungsfunktion: \(\underline{F}(j\omega) = \dfrac{j\omega RC}{1 + j\omega RC}\)

Herleitung der Phase

Wir starten mit der Übertragungsfunktion:

\[ \underline{F}(j\omega) = \frac{j\omega RC}{1 + j\omega RC} \]

Zähler:

\[ \underline{Z} = j\omega RC \quad \Rightarrow \quad \text{Re}_Z = 0, \quad \text{Im}_Z = \omega RC \]

Nenner:

\[ \underline{N} = 1 + j\omega RC \quad \Rightarrow \quad \text{Re}_N = 1, \quad \text{Im}_N = \omega RC \]

Einsetzen in die Phasenformel:

\[ \varphi = \arctan\!\left(\frac{\omega RC}{0}\right) - \arctan\!\left(\frac{\omega RC}{1}\right) \]

Da der Realteil des Zählers 0 ist und der Imaginärteil positiv, ergibt der erste Arcustangens exakt \(90°\).

\[ \varphi = 90° - \arctan(\omega RC) \]
Ergebnis: \[ \boxed{\varphi = 90° - \arctan(\omega RC)} \]
Analyse:
  • Bei \(\omega \to 0\): \(\varphi = 90° - \arctan(0) = 90°\) — Ausgang eilt dem Eingang um 90° voraus.
  • Bei \(\omega = \omega_g = \frac{1}{RC}\): \(\varphi = 90° - 45° = 45°\) — Grenzfrequenz.
  • Bei \(\omega \to \infty\): \(\varphi = 90° - 90° = 0°\) — Eingang und Ausgang sind in Phase.

3. LR-Tiefpass

LR Tiefpass

Typ: Induktiver Tiefpass

Bauteile: Spule L in Serie, Widerstand R parallel

Übertragungsfunktion: \(\underline{F}(j\omega) = \dfrac{1}{1 + j\omega \frac{L}{R}}\)

Herleitung der Phase

Die Übertragungsfunktion hat die gleiche Struktur wie beim RC-Tiefpass, nur mit der Zeitkonstanten \(\tau = \frac{L}{R}\) anstelle von \(\tau = RC\):

\[ \underline{F}(j\omega) = \frac{1}{1 + j\omega \cdot \frac{L}{R}} \]

Zähler:

\[ \underline{Z} = 1 \quad \Rightarrow \quad \text{Re}_Z = 1, \quad \text{Im}_Z = 0 \]

Nenner:

\[ \underline{N} = 1 + j\omega \cdot \frac{L}{R} \quad \Rightarrow \quad \text{Re}_N = 1, \quad \text{Im}_N = \omega \cdot \frac{L}{R} \]

Einsetzen in die Phasenformel:

\[ \varphi = \arctan\!\left(\frac{0}{1}\right) - \arctan\!\left(\frac{\omega \cdot \frac{L}{R}}{1}\right) \]
\[ \varphi = 0° - \arctan\!\left(\omega \cdot \frac{L}{R}\right) \]
Ergebnis: \[ \boxed{\varphi = -\arctan\!\left(\omega \cdot \frac{L}{R}\right)} \]
Analyse:
  • Bei \(\omega \to 0\): \(\varphi = 0°\) — keine Phasenverschiebung.
  • Bei \(\omega = \omega_g = \frac{R}{L}\): \(\varphi = -\arctan(1) = -45°\) — Grenzfrequenz.
  • Bei \(\omega \to \infty\): \(\varphi \to -90°\) — maximale Nacheilung.
  • Identisches Verhalten wie der RC-Tiefpass, nur mit der Zeitkonstanten \(\tau = \frac{L}{R}\).

4. RL-Hochpass

RL Hochpass

Typ: Induktiver Hochpass

Bauteile: Widerstand R in Serie, Spule L parallel

Übertragungsfunktion: \(\underline{F}(j\omega) = \dfrac{j\omega \cdot \frac{L}{R}}{1 + j\omega \cdot \frac{L}{R}}\)

Herleitung der Phase

Die Struktur ist analog zum CR-Hochpass:

\[ \underline{F}(j\omega) = \frac{j\omega \cdot \frac{L}{R}}{1 + j\omega \cdot \frac{L}{R}} \]

Zähler:

\[ \underline{Z} = j\omega \cdot \frac{L}{R} \quad \Rightarrow \quad \text{Re}_Z = 0, \quad \text{Im}_Z = \omega \cdot \frac{L}{R} \]

Nenner:

\[ \underline{N} = 1 + j\omega \cdot \frac{L}{R} \quad \Rightarrow \quad \text{Re}_N = 1, \quad \text{Im}_N = \omega \cdot \frac{L}{R} \]

Einsetzen in die Phasenformel:

\[ \varphi = \arctan\!\left(\frac{\omega \cdot \frac{L}{R}}{0}\right) - \arctan\!\left(\frac{\omega \cdot \frac{L}{R}}{1}\right) \]

Da der Realteil des Zählers 0 ist und der Imaginärteil positiv, ergibt der erste Arcustangens exakt \(90°\).

\[ \varphi = 90° - \arctan\!\left(\omega \cdot \frac{L}{R}\right) \]
Ergebnis: \[ \boxed{\varphi = 90° - \arctan\!\left(\omega \cdot \frac{L}{R}\right)} \]
Analyse:
  • Bei \(\omega \to 0\): \(\varphi = 90° - \arctan(0) = 90°\) — maximale Voreilung.
  • Bei \(\omega = \omega_g = \frac{R}{L}\): \(\varphi = 90° - 45° = 45°\) — Grenzfrequenz.
  • Bei \(\omega \to \infty\): \(\varphi = 90° - 90° = 0°\) — keine Phasenverschiebung.
  • Identisches Verhalten wie der CR-Hochpass, nur mit der Zeitkonstanten \(\tau = \frac{L}{R}\).
Zusammenfassung
Schaltung Phasenformel \(\omega \to 0\) \(\omega_g\) \(\omega \to \infty\)
RC-Tiefpass \(-\arctan(\omega RC)\) 0° -45° -90°
CR-Hochpass \(90° - \arctan(\omega RC)\) +90° +45° 0°
LR-Tiefpass \(-\arctan(\omega \cdot \frac{L}{R})\) 0° -45° -90°
RL-Hochpass \(90° - \arctan(\omega \cdot \frac{L}{R})\) +90° +45° 0°