Übungsbeispiele Bode-Diagramm & Filterschaltungen
Sechs praxisnahe Aufgaben rund um Grenzfrequenz, Dämpfung, Phasengang und Bode-Diagramm. Klicke auf Lösung anzeigen, um den Rechenweg zu sehen.
Aufgabe 1 — RC-Tiefpass Grenzfrequenz
Ein RC-Tiefpass hat folgende Bauteilwerte:
- \( R = 2{,}2 \, \text{k}\Omega = 2200 \, \Omega \)
- \( C = 47 \, \text{nF} = 47 \times 10^{-9} \, \text{F} \)
Berechne die Grenzfrequenz \( f_g \) des Filters.
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Schritt 1: Werte einsetzen
\[ f_g = \frac{1}{2\pi \cdot 2200 \cdot 47 \times 10^{-9}} \]Schritt 2: Nenner berechnen
\[ 2\pi \cdot 2200 \cdot 47 \times 10^{-9} = 2\pi \cdot 1{,}034 \times 10^{-4} \approx 6{,}498 \times 10^{-4} \]Schritt 3: Kehrwert bilden
\[ f_g = \frac{1}{6{,}498 \times 10^{-4}} \approx 1539 \, \text{Hz} \]\( f_g \approx 1539 \, \text{Hz} \approx 1{,}54 \, \text{kHz} \)
Aufgabe 2 — Dämpfung in Dezibel
An einem passiven Filter wird gemessen:
- Eingangsspannung: \( \underline{U}_e = 10 \, \text{V} \)
- Ausgangsspannung: \( \underline{U}_a = 2{,}5 \, \text{V} \)
Berechne die Dämpfung in dB.
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Schritt 1: Verhältnis bilden
\[ \frac{\underline{U}_a}{\underline{U}_e} = \frac{2{,}5}{10} = 0{,}25 \]Schritt 2: Logarithmus berechnen
\[ \log_{10}(0{,}25) \approx -0{,}602 \]Schritt 3: Mit 20 multiplizieren
\[ a_{dB} = 20 \cdot (-0{,}602) \approx -12{,}04 \, \text{dB} \]\( a_{dB} \approx -12{,}04 \, \text{dB} \)
Aufgabe 3 — Hochpass dimensionieren
Ein CR-Hochpass soll eine Grenzfrequenz von \( f_g = 20 \, \text{kHz} \) haben. Als Widerstand steht \( R = 1{,}5 \, \text{k}\Omega = 1500 \, \Omega \) zur Verfügung.
Welchen Kondensator \( C \) benötigst du?
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Schritt 1: Formel nach \( C \) umstellen (siehe oben)
Schritt 2: Werte einsetzen
\[ C = \frac{1}{2\pi \cdot 20000 \cdot 1500} \]Schritt 3: Nenner berechnen
\[ 2\pi \cdot 20000 \cdot 1500 = 2\pi \cdot 3 \times 10^{7} \approx 1{,}885 \times 10^{8} \]Schritt 4: Kehrwert bilden
\[ C = \frac{1}{1{,}885 \times 10^{8}} \approx 5{,}31 \times 10^{-9} \, \text{F} \]\( C \approx 5{,}31 \, \text{nF} \)
Aufgabe 4 — Bode-Diagramm ablesen
Im Bode-Diagramm eines unbekannten Tiefpasses liest du bei \( f = 1 \, \text{MHz} \) eine Dämpfung von \( -40 \, \text{dB} \) ab.
Wo liegt die Grenzfrequenz \( f_g \)?
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Überlegung:
Bei einem Tiefpass 1. Ordnung fällt der Amplitudengang oberhalb der Grenzfrequenz mit \( -20 \, \text{dB} \) pro Dekade. Ab der Grenzfrequenz ist die Dämpfung also:
\[ a(f) \approx -20 \cdot \log_{10}\!\left(\frac{f}{f_g}\right) \, \text{dB} \]Schritt 1: Gleichung aufstellen
\[ -40 = -20 \cdot \log_{10}\!\left(\frac{10^6}{f_g}\right) \]Schritt 2: Durch \(-20\) dividieren
\[ 2 = \log_{10}\!\left(\frac{10^6}{f_g}\right) \]Schritt 3: Logarithmus auflösen
\[ \frac{10^6}{f_g} = 10^2 = 100 \quad\Longrightarrow\quad f_g = \frac{10^6}{100} = 10^4 \]\( f_g \approx 10 \, \text{kHz} \)
Erklärung: 1 MHz liegt zwei Dekaden über 10 kHz. Bei \( -20 \, \text{dB/Dekade} \) ergibt das genau \( -40 \, \text{dB} \).
Aufgabe 5 — LR-Tiefpass Phasenverschiebung
Ein LR-Tiefpass hat eine Grenzfrequenz von \( f_g = 1 \, \text{kHz} \).
Wie groß ist die Phasenverschiebung \( \varphi \) bei \( f = 5 \, \text{kHz} \)?
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Schritt 1: Frequenzverhältnis berechnen
\[ \frac{f}{f_g} = \frac{5000}{1000} = 5 \]Schritt 2: Arkustangens bestimmen
\[ \varphi = -\arctan(5) \]Schritt 3: Taschenrechner / Tabelle
\[ \arctan(5) \approx 78{,}69° \]\( \varphi \approx -78{,}69° \)
Interpretation: Bei \( f = 5 \cdot f_g \) liegt die Phase schon nahe am Grenzwert von \( -90° \). Der Ausgang hinkt der Eingangsspannung fast um eine Viertelperiode hinterher.
Aufgabe 6 — RL-Hochpass vollständige Analyse
Ein RL-Hochpass hat folgende Bauteilwerte:
- \( R = 2 \, \text{k}\Omega = 2000 \, \Omega \)
- \( L = 1 \, \text{mH} = 1 \times 10^{-3} \, \text{H} \)
Bestimme die Übertragungsfunktion, die Grenzfrequenz, den Phasengang und zeichne das Bode-Diagramm (Amplituden- und Phasengang).
Achtung: Beim RL-Hochpass wird die Spannung über \( R \) abgegriffen. Die Spule blockiert hohe Frequenzen — bei tiefen Frequenzen ist \( X_L \) klein und die Spannung liegt am Widerstand.
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Grenzfrequenz:
\[ f_g = \frac{R}{2\pi \cdot L} = \frac{2000}{2\pi \cdot 10^{-3}} = \frac{2000}{6{,}283 \times 10^{-3}} \approx 318{,}3 \, \text{kHz} \]Übertragungsfunktion:
\[ \underline{F}(j\omega) = \frac{R}{R + j\omega L} \]Phase:
\[ \varphi(f) = -\arctan\!\left(\frac{f}{f_g}\right) = -\arctan\!\left(\frac{f}{318300}\right) \]\( f_g \approx 318 \, \text{kHz} \)
Ausführlichen Rechenweg anzeigen
1. Grenzfrequenz berechnen
Beim RL-Filter gilt die Bedingung \( |X_L| = R \) an der Grenzfrequenz, also \( \omega_g \cdot L = R \):
\[ \omega_g = \frac{R}{L} = \frac{2000}{10^{-3}} = 2 \times 10^6 \, \frac{\text{rad}}{\text{s}} \] \[ f_g = \frac{\omega_g}{2\pi} = \frac{2 \times 10^6}{2\pi} \approx 318{,}310 \, \text{Hz} \approx 318 \, \text{kHz} \]2. Übertragungsfunktion
Spannungsteiler mit \( R \) und \( j\omega L \):
\[ \underline{F}(j\omega) = \frac{R}{R + j\omega L} = \frac{1}{1 + j\frac{\omega L}{R}} = \frac{1}{1 + j\frac{f}{f_g}} \]Betrag (Amplitudengang):
\[ |F(f)| = \frac{1}{\sqrt{1 + \left(\frac{f}{f_g}\right)^2}} \]In Dezibel:
\[ a(f) = 20 \cdot \log_{10}|F(f)| = -10 \cdot \log_{10}\!\left(1 + \left(\frac{f}{f_g}\right)^2\right) \]3. Phasengang
\[ \varphi(f) = -\arctan\!\left(\frac{f}{f_g}\right) \]| \( f \) | \( f / f_g \) | \( |\underline{F}| \) | \( a \) [dB] | \( \varphi \) |
|---|---|---|---|---|
| \( 0{,}1 \cdot f_g \) | 0,1 | 0,995 | −0,04 | −5,7° |
| \( f_g \) | 1 | 0,707 | −3,01 | −45° |
| \( 10 \cdot f_g \) | 10 | 0,0995 | −20,04 | −84,3° |
| \( 100 \cdot f_g \) | 100 | 0,01 | −40,0 | −89,4° |
4. Bode-Diagramm
Amplitudengang:
Phasengang:
\( f_g \approx 318 \, \text{kHz} \)
Bei \( f_g \): \( |\underline{F}| = -3 \, \text{dB} \), \( \varphi = -45° \)